Ковариация

Ковариа́ция в теории вероятностей — это мера линейной зависимости случайных величин.

Содержание

Определение

Пусть X,Y — две случайные величины, определённые на одном и том же вероятностном пространстве. Тогда их ковариация определяется следующим образом:

\mathrm{cov}(X,Y) = \mathbb{E} \left[(X - \mathbb{E}X) (Y - \mathbb{E}Y)\right],

в предположении, что все математические ожидания в правой части определены.

Замечания

Свойства ковариации

  • Ковариация симметрична:
cov(X,Y) = cov(Y,X).
  • В силу линейности математического ожидания, ковариация может быть записана как
\mathrm{cov}(X,Y) = \mathbb{E}[XY] - \mathbb{E}[X] \cdot \mathbb{E}[Y].
  • Пусть X_1,\ldots, X_n случайные величины, а Y_1 = \sum\limits_{i=1}^n a_i X_i,\; Y_2 = \sum\limits_{j=1}^m b_j X_j их две произвольные линейные комбинации. Тогда
\mathrm{cov}(Y_1,Y_2) = \sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m a_i b_j \mathrm{cov}(X_i,X_j).

В частности ковариация (в отличие от коэффициента корреляции) не инварианта относительно смены масштаба, что не всегда удобно в приложениях.

  • Ковариация случайной величины с собой равна дисперсии:
cov(X,X) = D[X].
  • Если X,Y независимые случайные величины, то
cov(X,Y) = 0.

Обратное, вообще говоря, неверно.

\mathrm{cov}^2(X,Y) \leq \mathrm{D}[X] \cdot \mathrm{D}[Y].

См. также

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home