Символ Лежандра

Символ Лежандра — функция, используемая в теории чисел. Введён французским математиком А. М. Лежандром. Символ Лежандра является частным случаем символа Якоби, который в свою очередь является частным случаем символа Кронекера.

Определение

Пусть a — целое число, и p — нечётное простое число. Символ Лежандра \left(\frac{a}{p}\right) определяется следующим образом:

Свойства

  • Мультипликативность: \left(\frac{ab}{p}\right) = \left(\frac{a}{p}\right) \left(\frac{b}{p}\right)
  • Если a\equiv b \pmod p, то \left(\frac{a}{p}\right) = \left(\frac{b}{p}\right)
  • \left(\frac{1}{p}\right) = 1
  • \left(\frac{-1}{p}\right) = (-1)^{(p-1)/2}
  • \left(\frac{2}{p}\right) = (-1)^{(p^2-1)/8}
  • Если q - нечётное простое число, не равное p, то \left(\frac{q}{p}\right) \left(\frac{p}{q}\right) = (-1)^{\frac{p-1}{2}\cdot\frac{q-1}{2}} — частный случай квадратичного закона взаимности.
  • Среди чисел 1\le a\le p-1 ровно половина имеет символ Лежандра, равный +1, а другая половина — –1.
  • Символ Лежандра можно вычислить по формуле Эйлера: \left(\frac{a}{p}\right) \equiv a^{(p-1)/2} \pmod p
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home