Число Ферма

Числа Ферма — числа вида F_n=2^{2^n}+1.

F_0=2^{2^0}+1=2^1+1 = 3;

F_1=2^{2^1}+1=2^2+1 = 5;

F_2=2^{2^2}+1=2^4+1 = 17;

F_3=2^{2^3}+1=2^8+1 = 257;

F_4=2^{2^4}+1=2^{16}+1 = 65537;

F_5=2^{2^5}+1=2^{32}+1 = 4294967297 = 641 \cdot 6700417;

F_6=2^{2^6}+1=2^{64}+1 = 18446744073709551617 = 274177 \cdot 67280421310721;

F_7=2^{2^7}+1=2^{128}+1 =

340282366920938463463374607431768211457 =

59649589127497217 \cdot 5704689200685129054721;

...

Пьер Ферма выдвинул гипотезу, что все числа этого вида простые, которая была опровергнута Леонардом Эйлером в 1732, он нашёл разложение числа

F_5 = 4294967297 = 641 \cdot 6700417 \;

На данный момент неизвестно ни одного простого числа Ферма больше $F 4$ . Известно, что $F n$ являются составными при 5 \le n \le 32.

Свойства

Правильный n-угольник можно построить с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда

n=2^r p_1 p_2\dots p_k, где

p i

— различные простые числа Ферма. См. Теорема Гаусса — Ванцеля.

Тест Пепина даёт быстрый алгоритм для проверки простоты чисел Ферма.

Простые числа Ферма

Это простые числа вида 2^{2^n}+1. На данный момент известно только 5 таких чисел: $3;5;17;257;65537$ . Следует отметить, что простыми среди чисел вида $2 n + 1$ могут быть только числа Ферма, поскольку если у $n$ есть нечетный делитель $m > 1$ , то

\frac{2^n+1}{2^m+1}=1-2^m+2^{2m}-\cdots+2^{n-m}.

Ссылки

Последовательность A000215 из Энциклопедии целочисленных последовательностей
Леонид Дурман. Гонки по вертикали. // Компьютерра №№ 16,17,18 от 2001 г. Статья полностью на сайте http://arbuz.uz.

Целочисленные последовательности