Биекция

Функция f: X \to Y называется биекцией (и обозначается f: X\leftrightarrow Y), если она:

1. Переводит разные элементы множества X в разные элементы множества Y (инъективность).
2. Любой элемент из Y\! имеет свой прообраз (сюръективность). Иными словами, \forall y\in Y \exists x \in X:\ f(x)=y.

Биекцию также называют взаимно однозначным отображением. Множества, для которых существует биекция, называются равномощными.

Содержание 1 Примеры 2 Свойства 3 См. также 4 Литература

Примеры

• id: X \rightarrow X — функция, сохраняющая все элементы множества X, биективна на этом множестве.
• f(x)=x,\ f(x)=x^3 — биективные функции из \mathbb{R} в себя. Вообще, любой моном одной переменной нечетной степени является биекцией.
• f(x)=e^x\! — биективная функция \mathbb{R} в \mathbb{R}_+=(0,\infty). Но если её рассматривать как функцию в \mathbb{R}, то она уже не будет биективной (у отрицательных чисел не будет прообразов).
• f(x)=\sin x\! не является биективной функцией, если считать её определённой на всём \mathbb R.

Свойства

• Функция f: X\to Y является биективной тогда и только тогда, когда существует обратная функция f^{-1}: Y\to X такая, что \forall x\in X\;f^{-1}(f(x))=x и \forall y\in Y\;f(f^{-1}(y))=y.
• Если функции f и g биективны, то и композиция функций g\circ f биективна, в этом случае (g\circ f)^{-1} = f^{-1}\circ g^{-1}. Коротко: композиция биекций является биекцией. Обратное, вообще говоря, неверно: если g\circ f биективна, то мы можем утверждать лишь, что f инъективна, а g сюръективна.

См. также

• Функция
• Инъекция
• Сюръекция
• Изоморфизм
• Мощность множества

Литература

• Н. К. Верещагин, А.Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств.

• Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика: Учебное пособие. — 3-е, стереотип. изд. — СПб.: «Лань», 2004 — 336 с.