Биномиальное распределение

**Биномиальное распределение**
Функция вероятности
Функция распределения
Параметры	n \geq 0 - число «испытаний» 0\leq p \leq 1 - вероятность «успеха»
Носитель	k \in \{0,\dots,n\}\!
Функция вероятности	C_n^k\, p^k q^{n-k} \!
Функция распределения	I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor, 1+\lfloor k\rfloor) \!
Математическое ожидание	np\!
Медиана	одно из \{\lfloor np\rfloor-1, \lfloor np\rfloor, \lfloor np\rfloor+1\}
Мода	\lfloor (n+1)\,p\rfloor\!
Дисперсия	npq\!
Коэффициент асимметрии	\frac{1-2p}{\sqrt{npq}}\!
Коэффициент эксцесса	\frac{1-6pq}{npq}\!
Информационная энтропия
Производящая функция моментов	(q + pe^t)^n \!
Характеристическая функция	(q + pe^{it})^n \!

Биномиа́льное распределе́ние в теории вероятностей — распределение количества «успехов» в последовательности из $n$ независимых случайных экспериментов, таких что вероятность «успеха» в каждом из них равна $p$ .

Определение

Пусть X_1 ,\ldots, X_n — конечная последовательность независимых случайных величин с распределением Бернулли, то есть

X_i = \left\{ \begin{matrix} 1, & p \\ 0, & q \equiv 1-p \end{matrix} \right.,\; i=1,\ldots, n.

Построим случайную величину $Y$ :

Y = \sum\limits_{i=1}^n X_i.

Тогда $Y$ , число единиц (успехов) в последовательности X_1,\ldots, X_n, имеет биномиальное распределение с $n$ степенями свободы и вероятностью «успеха» $p$ . Пишем: Y \sim \mathrm{Bin}(n,p). Её функция вероятности даётся формулой:

p_Y(k) \equiv \mathbb{P}(Y = k) = C_n^k\, p^k q^{n-k},\; k=0,\ldots, n,

где C_n^k = \frac{n!}{(n-k)! \, k!} — биномиальный коэффициент.

Функция распределения

Функция распределения биномиального распределения может быть записана в виде суммы:

F_Y(y) \equiv \mathbb{P}(Y \leq y) = \sum\limits_{k=0}^{\lfloor y \rfloor} C_n^k\, p^k q^{n-k},\; y \in\mathbb{R},

где \lfloor y \rfloor обозначает наибольшее целое, не превосходящее число $y$ , или в виде неполной бета-функции:

F_Y(k) \equiv \mathbb{P}(Y \le k ) = I_{1-p}(n-k,k+1).

Моменты

Производящая функция моментов биномиального распределения имеет вид:

M_Y(t) = \left( pe^t + q\right)^n,

откуда

\mathbb{E}[Y] = np,

\mathbb{E}\left[Y^2\right] = np ( q + np ),

D[Y] = n p q

Свойства биномиального распределения

Пусть Y_1 \sim \mathrm{Bin}(n,p) и $Y 2 ˜Bin(n,1 - p)$ . Тогда p_{Y_1}(k) = p_{Y_2}(n-k).
Пусть Y_1 \sim \mathrm{Bin}(n_1,p) и Y_2 \sim \mathrm{Bin}(n_2,p). Тогда Y_1 + Y_2 \sim \mathrm{Bin}(n_1+n_2, p).

Связь с другими распределениями

Если $n = 1$ , то, очевидно, получаем распределение Бернулли.
Если $n$ большое, то в силу центральной предельной теоремы \mathrm{Bin}(n,p) \approx N( np, npq ), где $N (n p, n p q)$ — нормальное распределение.
Если $n$ большое, а $λ$ — фиксированное число, то \mathrm{Bin}(n, \lambda / n) \approx \mathrm{P}(\lambda), где $P(λ)$ — распределение Пуассона с параметром $λ$ .

	Вероятностные распределения
	Одномерные	Многомерные
Дискретные:	Бернулли \| биномиальное \| геометрическое \| гипергеометрическое \| логарифмическое \| отрицательное биномиальное \| Пуассона \| равномерное	мультиномиальное
Абсолютно непрерывные:	Бета \| Вейбулла \| Гамма \| Колмогорова \| Коши \| логнормальное \| Лоренца \| нормальное \| равномерное \| Парето \| Стьюдента \| Фишера \| хи-квадрат \| экспоненциальное \| Эрланга	многомерное нормальное

Распределения вероятностей