Биномиальное распределение
Функция вероятности |
|
Функция распределения |
|
Параметры | n \geq 0 - число «испытаний» 0\leq p \leq 1 - вероятность «успеха» |
Носитель | k \in \{0,\dots,n\}\! |
Функция вероятности | C_n^k\, p^k q^{n-k} \! |
Функция распределения | I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor, 1+\lfloor k\rfloor) \! |
Математическое ожидание | np\! |
Медиана | одно из \{\lfloor np\rfloor-1, \lfloor np\rfloor, \lfloor np\rfloor+1\} |
Мода | \lfloor (n+1)\,p\rfloor\! |
Дисперсия | npq\! |
Коэффициент асимметрии | \frac{1-2p}{\sqrt{npq}}\! |
Коэффициент эксцесса | \frac{1-6pq}{npq}\! |
Информационная энтропия | |
Производящая функция моментов | (q + pe^t)^n \! |
Характеристическая функция | (q + pe^{it})^n \! |
Биномиа́льное распределе́ние в теории вероятностей — распределение количества «успехов» в последовательности из n независимых случайных экспериментов, таких что вероятность «успеха» в каждом из них равна p.
Содержание |
Определение
Пусть X_1 ,\ldots, X_n — конечная последовательность независимых случайных величин с распределением Бернулли, то есть
- X_i = \left\{ \begin{matrix} 1, & p \\ 0, & q \equiv 1-p \end{matrix} \right.,\; i=1,\ldots, n.
Построим случайную величину Y:
- Y = \sum\limits_{i=1}^n X_i.
Тогда Y, число единиц (успехов) в последовательности X_1,\ldots, X_n, имеет биномиальное распределение с n степенями свободы и вероятностью «успеха» p. Пишем: Y \sim \mathrm{Bin}(n,p). Её функция вероятности даётся формулой:
- p_Y(k) \equiv \mathbb{P}(Y = k) = C_n^k\, p^k q^{n-k},\; k=0,\ldots, n,
где C_n^k = \frac{n!}{(n-k)! \, k!} — биномиальный коэффициент.
Функция распределения
Функция распределения биномиального распределения может быть записана в виде суммы:
- F_Y(y) \equiv \mathbb{P}(Y \leq y) = \sum\limits_{k=0}^{\lfloor y \rfloor} C_n^k\, p^k q^{n-k},\; y \in\mathbb{R},
где \lfloor y \rfloor обозначает наибольшее целое, не превосходящее число y, или в виде неполной бета-функции:
- F_Y(k) \equiv \mathbb{P}(Y \le k ) = I_{1-p}(n-k,k+1).
Моменты
Производящая функция моментов биномиального распределения имеет вид:
- M_Y(t) = \left( pe^t + q\right)^n,
откуда
- \mathbb{E}[Y] = np,
- \mathbb{E}\left[Y^2\right] = np ( q + np ),
и
- D[Y] = npq.
Свойства биномиального распределения
- Пусть Y_1 \sim \mathrm{Bin}(n,p) и Y2˜Bin(n,1 − p). Тогда p_{Y_1}(k) = p_{Y_2}(n-k).
- Пусть Y_1 \sim \mathrm{Bin}(n_1,p) и Y_2 \sim \mathrm{Bin}(n_2,p). Тогда Y_1 + Y_2 \sim \mathrm{Bin}(n_1+n_2, p).
Связь с другими распределениями
- Если n = 1, то, очевидно, получаем распределение Бернулли.
- Если n большое, то в силу центральной предельной теоремы \mathrm{Bin}(n,p) \approx N( np, npq ), где N(np,npq) — нормальное распределение.
- Если n большое, а λ — фиксированное число, то \mathrm{Bin}(n, \lambda / n) \approx \mathrm{P}(\lambda), где P(λ) — распределение Пуассона с параметром λ.
|