Внешняя алгебра

Внешняя алгебра (алгебра Грассмана) — алгебраическая система, применяемая для описания подпространств векторного пространства. Впервые введена Грассманом.

Определение

Внешняя алгебра векторного пространства V над полем kассоциативная алгебра над k, операция в которой обозначается знаком \wedge, порождающими элементами которой являются 1,e1,...,en, где e_1,\dots,e_n — базис пространства V, а определяющие соотношения имеют вид

  • e_i\wedge e_j=-e_j\wedge e_i (i,j=1,\dots,n), e_i\wedge e_i=0;
  • e_i\wedge 1=1\wedge e_i = e_i (i=1,\dots,n), 1\wedge 1=1.

Внешняя алгебра обычно обозначается \wedge V, она не зависит от выбора базиса.

Подпространство \wedge^r V (для r=0, 1, \dots, n) в \wedge V, порождённое элементами вида e_{i_1}\wedge...\wedge e_{i_r}, назывется r-ой внешней степенью пространства V.

Свойства

  • Имеют место равенства:
\operatorname{dim}\wedge V=2^n
\operatorname{dim}\wedge^r V=C^n_r, в частости
\wedge^r V=0 при r > n.
  • градуированная комутативность: u\wedge v=(-1)^{rs}v\wedge u, если u\in\wedge^rV,v\in\wedge^sV.
  • Элементы пространства \wedge^rV называются r-векторами; их можно понимать также как кососимметрические r раз контравариантные тензоры над V,
  • Линейно независимые системы из r векторов x_1, \dots, x_r и y_1, \dots, y_r из V порождают одно и то же подпространство тогда и только тогда, когда r-векторы x_1\wedge \dots \wedge x_r и y_1\wedge \dots \wedge y_r пропорциональны.
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home