Жорданова матрица

Жорданова матрица

Жорданова матрица — квадратная блочно-диагональная матрица над полем k, с блоками вида

J_\lambda=\begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & \ddots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ddots & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda \\\end{pmatrix}

блок Jλ называется жордановой клеткой с собственным числом λ.

Для произвольной квадратной матрицы A над алгебраически замкнутым полем k всегда существует такая квадратная невырожденная матрица C над k, что J = C − 1AC является жордановой марицей (иначе говоря, A сопряжена с k некоторой жордановой марице).

Матрица J = C − 1AC, указанная выше, называется жордановой формой (или жордановой нормальной формой) матрицы A.

Жорданова форма матрицы определена не однозначно, а с точностью до порядка жордановых клеток. Точнее, две жордановы марицы подобны над k в том и только в том случае, когда они составлены из одних и тех же жордановых клеток и отличаются друг от друга лишь расположением этих клеток на главной диагонали.

Помимо жордановой нормальной формы, рассматривают ряд других типов нормальных форм матрицы. К их рассмотрению прибегают, например, когда основное поле не содержит всех корней минимального многочлена матрицы.

Свойства

  • Количество жордановых клеток порядка n с собственным числом λ в жордановой форме матрицы A можно вычислить по формуле
c_n(\lambda)= \operatorname{rk}(A-\lambda E)^{n-1} -2\operatorname{rk}(A-\lambda E)^{n} +\operatorname{rk}(A-\lambda E)^{n+1}
где Eединичная матрица того же порядка что и A, \operatorname{rk} Bранг матрицы B, а \operatorname{rk} (A-\lambda E)^0, по определению, равен порядку A.

История

Такая форма матрицы рассматривалась одним из первых Жорданом.

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home