Циклический подкласс

Цикли́ческие подкла́ссы - подмножества неразложимого периодического класса цепи Маркова такие, что цепь проходит их один за другим по порядку.

Содержание

Теорема

Пусть дана цепь Маркова \{X_n\}_{n \ge 0} с дискретным временем, дискретным пространством состояний S и матрицей переходных вероятностей P. Пусть C \subset S - неразложимый класс состояний с периодом d. Тогда существует разбиение множества C: C_0,\ldots, C_{d-1} \subset C, то есть

C_k \cap C_l = \emptyset,\; k \not= l, \quad \bigcup\limits_{k=0}^{d-1} C_k = C

такое, что

\mathbb{P}(X_{n+1} \in C_{k+1 \!\!\!\!\!\mod d} \mid X_n \in C_{k}) = 1, \quad k = 0,\ldots, d-1, \; n \in \mathbb{N}.

Замечание

Таким образом внутри любого неразложимого периодического класса цепь Маркова описывает путь:

C_k \to C_{k+1} \to \cdots \to C_{d-1} \to C_0 \to \cdots \to C_{k-1} \to C_k \to \cdots,

где k - индекс начального подмножества.

Определение

Построенные таким образом подмножества C_k,\; k=1,\ldots, d-1 называются цикли́ческими подкла́ссами.

Цепь внутри циклического подкласса

Очевидно имеем:

\mathbb{P}(X_{n+d} \in C_{k} \mid X_n \in C_{k}) = 1, \quad k = 0,\ldots, d-1, \; n \in \mathbb{N},

то есть через каждые d шагов цепь возвращается в тот же циклический подкласс. Тогда для любого фиксированного k = 0,\ldots,d-1 можно построить новую цепь Маркова \left\{X_n^{(k)}\right\}_{n \ge 0} со множеством состояний Ck и матрицей переходных вероятностей Pd. Эта цепь будет неразложимой и апериодичной. Таким образом изучение многих вопросов поведения цепи Маркова сводится к случаю апериодической неразложимой цепи.

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home